Die fraktale Struktur harmonischer Oszillatoren in der Musik: Neujahrskonzert: JS.Bach. Brandenburg konzerte.

Die Analyse der Struktur verschiedener Musikwerke hat gezeigt, dass die Auswahl der Noten verschiedener Komponisten zu verschiedenen Zeiten einige gemeinsame Elemente aufweist. Es ist eines der brandenburgischen Konzerte von Bach, des Streichquartetts # 3 von Babbit, von Klavierwerken von Scott Joplin, alle diese Werke haben die gleiche Form, wenn die Struktur in Bezug auf die Frequenzen betrachtet wird. Wir werden dies weiter unten erklären.

Bei der akustischen Analyse verschiedener Musikwerke wurde die Audiokraft der Musik untersucht. Diese Menge ist im Wesentlichen die Energie, die jede Sekunde in Form von Schallwellen ausgestrahlt wird, wenn das Musikwerk aufgeführt wird. Indem analysiert wird, wie diese Größe in Bezug auf die Frequenz strukturiert ist, erhält man das, was man ihr Spektrum nennt.

Wie hängen die Spektren der verschiedenen Musikwerke von der Frequenz ab?

Analysen verschiedener musikalischer Werke haben gezeigt, dass ihre Spektren von der Frequenz abhängen, die wir mit dem Buchstaben f bezeichnen, wie zum Beispiel (1 / f). Wenn wir uns erinnern, was im vorigen Kapitel analysiert wurde, sehen wir, dass dieses Spektrum ein Potenzgesetz ist, das in mathematischer Sprache von der Frequenz in umgekehrter Form zur ersten Potenz von f (abhängt, da der Exponent von f in (1 / f) ist 1). Daher ist dieses Spektrum, wie bereits beschrieben, selbstähnlich und enthält folglich eine fraktale Struktur.

Ein Spektrum der im vorhergehenden Absatz genannten Art wird als rosa Spektrum bezeichnet.

Warum haben Bach und viele andere Komponisten das rosa Spektrum gewählt? Die Realität ist, dass kein Musiker jemals von diesen Ideen gehört hat, geschweige denn sie absichtlich ausgewählt hat. Um zu verstehen, was passiert, werden wir erklären, wie Musik mit einer anderen Art von Spektrum gemacht wird.

Eine Möglichkeit wäre wie folgt: Jede Note, die geschrieben wird, ist so, dass ihre Position und Dauer überhaupt nicht von den vorherigen Noten oder ihrer Dauer abhängt. In diesem Fall wird gesagt, dass die Zusammensetzung völlig zufällig oder stochastisch ist. Ein Beispiel für diese Art von Musik ist in Abbildung 33 (a) dargestellt. Das Spektrum der Audioleistung dieser Art von Musik ist für jeden Frequenzwert gleich, was bedeutet, dass der Wert der Leistung für alle Frequenzwerte gleich ist, das heißt, es ist eine Größe konstant. Mathematisch hängt das Spektrum von der Frequenz (1 / f0) ab, da f0 = 1. Ein solches Spektrum heißt weiß. Wenn diese Art von Musik auf einem Instrument gespielt würde, würden wir sie ohne Struktur hören; Es würde auch den Eindruck erwecken, dass es von einer Note zur nächsten immer eine Überraschung geben würde.

Eine andere Art von Spektrum, die zum anderen Ende führt, hängt von der Frequenz (1 / f²) ab, die als braun oder braun bezeichnet wird. Diese Bezeichnung wurde verwendet, weil sie mit der in Kapitel IV diskutierten Brownschen Bewegung zusammenhängt. Abbildung 33 (b) zeigt Musik mit dem braunen Spektrum. In der Musik hängen jede Note und ihre Dauer in hohem Maße von den vorhergehenden Noten ab. Daher haben Sie das Gefühl, dass nach dem Spielen einiger Noten Folgendes vorhersehbar ist.

In der Abbildung: (a) Beispiel für weiße Musik. (b) Beispiel für braune Musik. (c) Beispiel für rosa Musik.

Musik mit einem rosa Spektrum, also (1 / f), gehört sozusagen zu den Fällen von Zufallsmusik (weißes Spektrum) und deterministischer Musik (braunes Spektrum). In diesem Fall sind die Noten und ihre Dauer weder sehr vorhersehbar noch sehr überraschend. Ein Beispiel für diese Art von Musik ist in Abbildung 33 (c) dargestellt.

Um auf die oben gestellte Frage zurückzukommen: Warum haben die Komponisten rosa Spektren, das heißt ein Gesetz der Kräfte (1 / f), effektiv verwendet, um ihre Musik zu komponieren? Man kann sagen, dass die Komponisten es versucht haben, und sicherlich viele von ihnen Sie haben es geschafft, interessante Musik zu komponieren. Die Frage sollte wie folgt gestellt werden: Warum hat interessante Musik ein rosafarbenes Spektrum? Die Antwort könnte sein, dass Musik mit dieser Art von Spektrum sich weder als sehr vorhersehbar (braunes Spektrum) noch als sehr überraschend (weißes Spektrum) herausstellt. Der niederländische Wissenschaftler Balthazaar van de Pol sagte einmal, dass Bachs Musik großartig ist, weil sie unvermeidlich und gleichzeitig überraschend ist, was bedeutet, dass ihr Spektrum rosa ist.

Da die Musik mit einem rosa Spektrum selbstähnlich ist, hat sie auf verschiedenen Frequenzskalen eine ähnliche Struktur. Was auf einer Frequenzskala passiert, muss auf jeder anderen Frequenzskala geschehen. Wenn eine solche Komposition mit einer bestimmten Geschwindigkeit auf Magnetband aufgezeichnet und mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten abgespielt würde, wäre das Gehörte dem Aufgenommenen ähnlich. Dies steht im Gegensatz zu dem, was mit der menschlichen Stimme passiert, denn wenn eine Aufnahme mit einer Geschwindigkeit abgespielt wird, beispielsweise zweimal, was getan werden soll, klingt dies sehr laut. Eine Möglichkeit, Selbstähnlichkeit zu zeigen, ist die Verwendung eines elektronischen Geräts, das Klänge mit den von Ihnen gewünschten Frequenzen erzeugt. Wenn ein Klang erzeugt wird, bei dem es sich um die Überlagerung von 2 Noten handelt, wobei jede Note eine Oktave (doppelte Frequenz) der vorherigen Note ist und mit einer 10-Hertz-Note (1 Hertz = 1 Hz = 1 / Sek.) Beginnt. Die folgenden 11 Noten wären von Frequenzen:

20 = 2 × 10, 40 = 4 × 10, 80 = 8 × 10, 160 = 16 × 10,

320 = 32 x 10, 640 = 64 x 10, 1280 = 128 x 10,

2560 = 256 × 10, 5120 = 52 × 10, 10 240 = 1024 × 10 und

20 480 = 2 048 x 10, alle in Hz-Einheiten.

Lassen Sie uns nun jede dieser Noten für andere Noten mit höheren Frequenzen um einen Halbton ändern (entsprechend dem Unterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Noten eines Klaviers). Die Halbtonfrequenz ergibt sich aus der vorherigen Note multipliziert mit 1, 05946. Nun wird der Sound abgespielt, der die folgenden Frequenzen überlagert:

10 x 1, 0594 = 10, 6, 20 x 1, 05946 = 21, 2,

40 x 1.05946 = 42, 38, 80 x 1.05946 = 84, 76,

160 x 1.05946 = 169, 51, 320 x 1.05946 = 339, 03,

640 x 1, 05946 = 678, 06, 1 280 x 1, 05946 = 1356, 11,

2560 x 1, 05946 = 2712, 22, 5120 x 1, 05946 = 5424, 44,

10240 × 1, 05946 = 10848, 88 und 20480 × 1, 05946 = 21697, 74 Hz

Dieser Ton ist lauter als der vorherige.

Wenn die Frequenz jeder Note erneut um einen Halbton erhöht wird, erzeugt die Überlagerung der neuen Sounds einen höheren Tonhöhenklang. Wenn der Vorgang des Erhöhens jeder der Klangkomponenten um einen Halbton 12 Mal wiederholt wird, stellt sich heraus, dass der erzeugte Klang nicht vom Original zu unterscheiden ist! Dies ist eine musikalische Demonstration der Selbstähnlichkeit.

Wenn wir zusätzlich die nicht hörbaren Zeit- / Spektrum-Diagramme als Referenz nehmen, erhalten wir in den Nuancen> 20 Hz und höher als 28.000 Hz einen harmonischen Logarithmus, der als Folge von Einzel- und Doppelereignissen ausgedrückt wird in der Stille:

Der Schlüssel zu den harmonischen Oszillatoren liegt in der Aufeinanderfolge von Pausen oder Frequenzketten des nicht hörbaren Spektrums.

Die Kombination der oben genannten Konzepte führt zu diesem Wunder, das wir anbieten, um das neue Jahr 2011 zu erhalten: